素数分布之道(原创彭秋年)
内容简介：㈠创建能量参照法生成素数分布新论；㈡论各种奇素数组合的分布；㈢论偶数u的素数分解对的分布；㈣论幂函数中的素数分布；㈤论梅森素数的分布.
关键词：能量参照法、素数分布新论.
㈠、创建能量参照法生成素数分布新论.
首先陈述素数定理：如果以q表示自然数s以内的素数数量，则q=s/㏑s.
(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算更精确)
当s足够大时，显然满足：
(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.
如果集合X是集合N(N=全体自然数)的子集.
且令：s以内集合X中大于2的元素依次是x?，x?…x?；定义s以内集合X中元素的能量和为e=1/㏑x?+1/㏑x?…+1/㏑x?.
则有：s以内集合N中元素的能量和e、素数数量q均接近于s/㏑s，即q=e=s/㏑s.
以集合X={x|x=3a+1,(a∈N)}为例展开论述.
且令：集合X、N中与p?互素的元素的分布比例分别为y?、z?.
(i∈N,p?=2,i>0时,p?表示第i个奇素数)
则有：i=1时，y?=1，z?=2/3；
i≠1时，y?=z?=(p?-1)/p?；
集合X、N中与p?p?…p?互素的元素的分布比例分别为y?y?…y?、z?z?…z?.
且令：r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).
则有：r?=1；i>0时，r?=1/(2/3)=3/2.
分析：s以内集合X中的元素相对于集合N中的元素，它们成为素数的能力强度其参照值是r=3/2；简述为集合X存在参照常数r=3/2.
且令：s以内集合X中元素的能量和为e.
则有：e=s/(3㏑s).
分析：s以内集合X中的素数数量q等于能量和e与参照常数r之积，即q=er=s/(2㏑s).
以此类推
且令：P={全体素数}；
X={x|x=pa+y,(a∈N)}.
(p∈P；y=1,2…p-1)
则有：p、y确定时，s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/[(p-1)㏑s].
且令：P?=P∩X.
则有：s以内集合P?、P中元素数量分布之比为1/(p-1).
定义：使用能量和e与参照值r的概念对素数分布进行分析探讨的方法称为能量参照法.
素数定理与能量参照法结合为素数分布新论.
如果集合X是集合N(N=全体自然数)的子集；集合X中与p?、p?p?…p?互素的元素的分布比例分别为y?、y?y?…y?. (i∈N)
且令：z?=(p?-1)/p?；r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).
如果存在n使得：i＞n，所有的r?都接近于r；则称集合X存在参照常数r.
且令：s以内集合X中元素的能量和为e，素数元素的数量为q. (s足够大)
则有：q=er.
㈡、论各种奇素数组合的分布.
①、将奇素数组合分为两种类型.
类型一、非动态素数链.
如果序列U={u?，u?+u?，… u?+u?…+u?}中的元素除以某个奇素数p，所得互异的正整数余数为1,2…p-1.
(u?为正偶数,i=1,2…n)
且令：序列A={a，a+u?，a+u?+u?，… a+u?+u?…+u?}. (a为奇素数)
则有：序列A中至少有一个数能够被p整除.
当序列A中的元素均为素数时，则称其为加u?加u?…加u?型素数链(或非动态素数链).
序列A中的元素包含p时才有可能均为素数，使得序列A能够包含p的a值数量有限.
因此，任一型号的非动态素数链数量有限.
类型二、动态素数链.
如果序列U={u?，u?+u?，… u?+u?…+u?}中的元素除以任意的素数p，所得互异的正整数余数的数量少于p-1个.
(u?为正偶数,i=1,2…n)
且令：序列A={a，a+u?，a+u?+u?，… a+u?+u?…+u?}. (a为奇素数)
当序列A中的元素均为素数时，则称其为加u?加u?…加u?型素数链(或动态素数链).
且令：a，a+a?，a+a?，…a+a???均为素数.(2≤n＜a，2≤a?＜a?…＜a???)
则有：a?，a?，…a???除以任意的素数p，所得互异的正整数余数的数量少于p-1个.
故a，a+a?，a+a?，…a+a???是动态素数链.
由此可知：任意n(n≥2)个互异且大于n的奇素数均可组成一条长度为n的动态素数链，几乎所有的奇素数组合都属于动态素数链.
②、以序列A={5,7,11,13}为例展开论述.
序列A={5,7,11,13}中相邻素数的间距依次是u?=2，u?=4，u?=2.
且令：P={全体素数}；
Q?={x|x=a-2i,(a∈P)}. (i=1,2,3,4)
且令：R?=P∩Q?；S?=R?∩R?；
S?=R?∩R?；S?=R?∩R?；
S?=R?∩R?；T=R?∩R?∩R?.
则有：R?={3,5,11…}；R?={3,7,13…}；
R?={5,7,11…}；R?={3,5,11…}；
S?={5,11,17…}；S?={7,13,37…}；
S?={3,5,11…}；S?={5,11,23…}；
T={5,11,101…}.
[集合R?(i=1,2,3,4)分别由全体加2i型素数链的第一个元素组成；集合S?、S?、S?、S?分别由全体加2加4、加4加2、加2加6、加6加2型素数链的第一个元素组成；集合T由全体加2加4加2型素数链的第一个元素组成]
已知：s以内素数的分布密度是1/㏑s.
因此，s以内集合Q?(i=1,2,3,4)中元素的分布密度同样是1/㏑s.
又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.
因此，s以内集合Q?(i=1,2,3,4)中元素的能量和为e=(s/㏑s)(1/㏑s)=s/㏑2s.
已知集合Q?={x|x=a-2,(a∈P)}={0,1,3…}.
且令：集合Q?中与p?互素的元素的分布比例为y?. (i∈N)
则有：y?=1；i>0时，y?=(p?-2)/(p?-1).
且令：z?=(p?-1)/p?；r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).
则，
r?={(1/2)(3/4)(5/6)…[(p?-2)/(p?-1)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(p?-1)/p?]}可化为式B与式B'如下：
式B、
r?=[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(p?-2)/(p?-1)][p?????/(p?????-1)]}[p?/(p?-1)].
式B'、
r?=(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(p?-2)/(p?-1)][p?/(p?-1)]}.
式B中 p?/(p?-1)＞1；
[(p?-2)/(p?-1)][p???/(p???-1)]＞1.
(m=2,3…i)
因此，
r?＞[(3/4)(3/2)][(5/6)(5/4)]…{[(p?-2)/(p?-1)][p?????/(p?????-1)]}.
式B'中 [(p?-2)/(p?-1)][p?/(p?-1)]＜1. (m=2,3…i)
因此，r?＜(3/2)[(3/4)(5/4)][(5/6)(7/6)]…{[(p?????-2)/(p?????-1)][p?????/(p?????-1)]}.
经计算，r?=2,1.5,1.406,1.367,1.354…
当i=253时，1.3196＜r?＜1.3204；随着i的不断增大，r?→1.3203236…
因此，r?→1.320(精确到千分位).
即，集合Q?存在参照常数r=1.32.
因此，s以内集合Q?中素数数量分布的计算公式是q=er=1.32s/㏑2s.
同理可证：集合Q?，Q?，Q?的参照常数依次是1.32，2.64，1.32.
因此，s以内加u(u=2,4,6,8)型素数链[集合R?(i=1,2,3,4)中元素]数量分布的计算公式依次是1.32s/㏑2s，1.32s/㏑2s，2.64s/㏑2s，1.32s/㏑2s.
且令：X={x|x=pa+y,(a∈N)}；P?=X∩R?.
[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u(u=2)]
则有：p、y确定时，s以内集合P?、R?中的元素数量分布之比为1/(p-2).
(p=2时,用1代替p-2)
且令：
R?'={x|x=a+6,(a∈R?)}={9,11,17…}.
已知：s以内集合R?中元素的分布密度是1.32/㏑2s. 因此，s以内集合R?'中元素的分布密度同样是1.32/㏑2s.
又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.
因此，s以内集合R?'中元素的能量和为e=(s/㏑s)(1.32/㏑2s)=1.32s/㏑3s.
且令：集合R?'中与p?互素的元素的分布比例为y?. (i∈N)
则有：y?=1,y?=1；
i＞1时,y?=(p?-3)/(p?-2).
且令：z?=(p?-1)/p?；r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).
经计算，r?→2.165(精确到千分位).
即，集合R?'存在参照常数r=2.165.
因此，s以内集合R?'中素数数量分布的计算公式是q=er=2.86s/㏑3s；即，s以内加2加4型素数链(集合S?中元素)数量分布的计算公式是2.86s/㏑3s.
同理可证：s以内加4加2、加2加6、加6加2型素数链(集合S?、S?、S?中元素)数量分布的计算公式都是2.86s/㏑3s.
且令：X={x|x=pa+y,(a∈N)}；P?=X∩S?.
[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u(u=2,6)]
则有：p、y确定时，s以内集合P?、S?中的元素数量分布之比为1/(p-3).
(p=2,3时,用1代替p-3)
关于r?的计算谨作论述C(标识C备用)：
在计算r?→1.32(n=1)及r?→2.165(n=2)的过程中发现，n为任意正整数时，r?={…[(p?-n-1)/(p?-n)]}/{(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)…[(p?-1)/p?]}都能够类似地化为两个式子，且使得：一个式子里面从某一项开始，后面连续相乘的各项均趋近1且不小于1；另一个式子里面从某一项开始，后面连续相乘的各项均趋近1且不大于1.
因此，n为任意正整数，r?都将趋近于常数.
且令：
S?'={x|x=a+8,(a∈S?)}={13,19,25…}.
经计算，集合S?'存在参照常数r=1.451.
已知：s以内集合S?中元素的分布密度是2.86/㏑3s. 因此，s以内集合S?'中元素的分布密度同样是2.86/㏑3s.
又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.
因此，s以内集合S?'中元素的能量和为
e=(s/㏑s)(2.86/㏑3s)=2.86s/㏑?s.
因此，s以内集合S?'中素数数量分布的计算公式是q=er=4.15s/㏑?s；即，s以内加2加4加2型素数链(集合T中元素)数量分布的计算公式是4.15s/㏑?s.
且令：X={x|x=pa+y,(a∈N)}；P?=X∩T.
[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u(u=2,6,8)]
则有：p、y确定时，s以内集合P?、T中的元素数量分布之比为1/(p-4).
(p=2,3时,用1代替p-4)
关于公式系数(例4.15)的计算谨作论述C'：
且令：序列U={u?，u?+u?，u?+u?+u?}中的元素(即2,6,8)除以素数p?，所得互异的正整数余数为t?个. (i=0,1…m)
且令：a=(p?-t?-1)(p?-t?-1)…(p?-t?-1)； b=p?p?…p?；d=(p?-1)(p?-1)…(p?-1).
则有：m足够大时，
ab3/d?=1.32*2.165*1.451=4.15.
③、以②类推论各种动态素数链的分布.
如果序列U={u?，u?+u?，… u?+u?…+u?}中的元素除以任意的素数p，所得互异的正整数余数的数量少于p-1个.
(u?为正偶数,i=1,2…n)
则有：s以内加u?加u?…加u?型动态素数链数量分布的计算公式是q=er=c?s/㏑??1s.
(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)
综合论述C、C'，系数c?的计算方法如下：
且令：序列U中的元素除以素数p?，所得互异的正整数余数为t?个. (i=0,1…m)
且令：a=(p?-t?-1)(p?-t?-1)…(p?-t?-1)；
b=p?p?…p?；d=(p?-1)(p?-1)…(p?-1).
则有：m足够大时，
c?=ab?/d??1=n个常数之积=常数.
当㏑s＞n+1时，c?s/㏑??1s是一个增函数，其值域为无穷大；因此，加u?加u?…加u?型动态素数链存在无穷多条.
继续探讨
经分析整理，n为正整数，可得以下结论：
1、s以内加2加4…加2n型动态素数链数量分布的计算公式是c?s/㏑??1s.
2、s以内连续n个加u型动态素数链数量分布的计算公式是c?s/㏑??1s. (令与偶数u互素的最小素数为p,n≤p-2)
3、s以内加u?加u?…加u?型动态素数链数量分布的计算公式是c?s/㏑??1s.
[u?=m?(m-1),(m-1∈N+,a=1,2…n)]
4、假设区间[n,2n)(n＞2)内存在t个素数，则该t个素数是一条长度为t的动态素数链；假设任意连续的n个自然数中，最长的动态素数链包含y个素数；n确定时，理论上能够通过有限个步骤的计算得到确定的t、y(且t≤y).
5、如果素数链的第一个元素在s以内，则定义该素数链在s以内；当n确定、s足够大时，(n+1)s以内每s个连续的自然数中接近存在s/㏑s个素数；因此，s以内加u?加u?…加u?(u?≤s,i=1,2…n)型动态素数链的数量总和接近于(s/㏑s)??1；因此，这些素数链数量分布的计算公式的系数总和接近于s?.
[依据系数c?的取值规律同样可证(略)]
关于动态素数链伸展性与对称性的简论.
且令：序列U={u?，u?+u?，… u?+u?…+u?}中的元素除以素数p，所得互异的正整数余数为a个；序列V={mu?，m(u?+u?)，…m(u?+u?…+u?)}. (n、m∈N+)
则有：m被p整除时，序列V中的元素均被p整除；m与p互素时，序列V中的元素除以素数p，所得互异的正整数余数同样为a个.
且令：序列W={u?，u?+u???，… u?+u???…+u?}；序列U中的元素除以素数p，所得余数依次组成序列X={x?，x?，…x?}；序列W中的元素除以素数p所得余数依次组成序列K={k?，k?，…k?}.
则有：x?=k?；(x?+k???)除以p得到余数x?. (i=1,2…n-1)
因此，序列X、K中互异的正整数数量相等.
综合而论动态素数链的基本性质如下：
任一型号的动态素数链在自然数中的分布具有无穷性、谐和性、伸展性、对称性.
无穷性是指任一型号的动态素数链其数量都是无穷的.
谐和性是指任一型号的动态素数链都对应一个公式，其数量的分布状态接近于该公式的增长趋势. 同时存在更深层次的谐和性，且令全体加u?加u?…加u?型动态素数链的第一个元素组成集合P'；且令X={x|x=pa+y,(a∈N)}；[p∈P,y∈N,0＜y＜p,y≠pa-u(u=u?,u?+u?,… u?+u?…+u?),p对应k个y值]；P?=P'∩X；则当p、y确定时，s范围内集合P?、P'中元素数量分布之比为1/k.
伸展性是指将任一型号的动态素数链其相邻素数的间距统一放大到m(m∈N+)倍，即可得到m倍间距型号的动态素数链，s以内两者数量分布之比为常数.
对称性是指对于任一型号的动态素数链，都将存在与其相邻素数的间距对称的动态素数链，s以内两者数量分布之比为1.
㈢、论偶数u的素数分解对的分布.
且令：u(u>1000)为偶数；√u以内存在m个奇素数；X={x|x=u-a,(a∈P,a＜u)}.
且令：集合X中与p?互素的元素的分布比例为y?；z?=(p?-1)/p?；
r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?). (i=0,1…m)
则可推出r?→r；u=2?(n∈N)时，r=1.32；u存在奇素因数d?,d?…d?时，
r=1.32[(d?-1)(d?-1)…(d?-1)]/[(d?-2)(d?-2)…(d?-2)].
每个偶数u都对应一个参照常数r.(r≥1.32)
经分析，s(s≤u/2,s的下限＜＜u/2)以内集合X中元素的分布密度是1/㏑u.
又(s/㏑s)/(1/㏑3+1/㏑4…+1/㏑s)→1.
因此，s以内集合X中元素的能量和为
e=s/(㏑s㏑u).
因此，s以内使得a、u-a均为素数的a值数量分布的计算公式是q=er=rs/(㏑s㏑u).
{偶数u＞1000,s≤u/2,s的下限＜＜u/2；u=2?(n∈N)时,r=1.32；
u存在奇素因数d?,d?…d?时,r=1.32[(d?-1)(d?-1)…(d?-1)]/[(d?-2)(d?-2)…(d?-2)]}
当s=u/2时，可得偶数u的素数分解对数量的计算公式是rs/(㏑s㏑u)≈ru/(2㏑2u).
(u较小时,用㏑u-1.08代替㏑u计算)
依据该公式判断哥德巴赫猜想成立.
㈣、论幂函数中的素数分布.
①、论一次函数(等差数列)中的素数分布.
以集合X={x|x=10a+1,(a∈N)}为例展开论述.
且令：集合X中与p?互素的元素的分布比例为y?；z?=(p?-1)/p?. (i∈N)
则有：10的素因数为2、5，对应y?=y?=1；i≠0、2时，y?=z?=(p?-1)/p?；
且令：r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).
则有：i＞1时，r?=1/[(1/2)(4/5)]=5/2.
即，集合X存在参照常数r=5/2.
简述：10以内有4个正整数(1,3,7,9)与10互素，对应集合X存在参照常数r=10/4=5/2.
s以内集合X中元素的能量和为e=s/(10㏑s).
因此，s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/(4㏑s).
以此类推
且令：X={x|x=ma+n,(a∈N)}；
m以内有u个正整数与m互素.
(m,n为互素的正整数,m＞n)
则有：集合X存在参照常数r=m/u；s以内集合X中元素的能量和为e=s/(m㏑s).
因此，s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=s/(u㏑s).
(s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)
②、论二次函数中的素数分布.
以集合X={x|x=a2+1,(a∈N)}为例展开论述.
且令：集合X中与p?互素的元素的分布比例为y?. (i∈N)
则有：y?=1/2；
p?=4c+1时，y?=(p?-2)/p?；
p?≠2、4c+1时，y?=1. (c∈N)
又，4以内共有2个正整数(1,3)与4互素.
因此，s以内有1/2的p?=4c+1.
且令：z?=(p?-1)/p?；r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).
则有：i＞167时，r?→1.36…
即，集合X存在参照常数r=1.36.
s以内集合X中元素的能量和为e=√s/㏑s.
因此，s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=1.36√s/㏑s.
以此类推
且令：A={x|x=a2+n,(a∈N}；
B={x|x=a2+a+n,(a∈N}；
C={x|x=(a2+a)/2+n,(a∈N}.(n∈Z)
则有：n确定时，s以内集合A、B、C中素数数量分布的计算公式都是q=er=r?k/㏑s.
[k表示s以内集合X(X=A,B,C)中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算]
集合A的参照常数r?的计算方法如下：
1、n=-b2(b∈N)时，集合A的表达式能够进行因式分解，r?=0.
2、n≠-b2(b∈N)时，令|4n|以内存在2u个正整数与|4n|互素，集合A的正元素中包含的与|4n|互素的素因数除以|4n|所得互异的余数(有且仅有u个)组成序列B={b?,b?…b?}；
当p?整除|4n|时，令t?=1；当p?=|4n|c+b?时，令t?=(p?-2)/(p?-1)；当p?不能整除|4n|且p?≠|4n|c+b?时，令t?=p?/(p?-1)；s以内有1/2的p?=|4n|c+b?；i足够大时，r?=t?t?…t?=常数.(i∈N,c∈N,v=1,2…u)
另外，如果m=nb2(b∈N+)；b不存在与|4n|互素的奇素因数，则r?=r?；b存在与|4n|互素的奇素因数d?,d?…d?，当d?=|4n|c+b?时，令k?=(d?-1)/(d?-2)，当d?≠|4n|c+b?时，令k?=(d?-1)/d?，则r?=r?k?k?…k?.(i=1,2…x；c、b?同上)
例如：
n=7时，|4n|=28，28以内存在12个正整数与28互素，集合A的正元素中包含的与28互素的素因数除以28所得互异的余数(有且仅有6个)组成序列B={b?,b?…b?}={1,9,11,15,23,25}；
28的素因数为p?=2、p?=7，令t?=t?=1；当p?=28c+b?时，令t?=(p?-2)/(p?-1)；当p?≠2、7、28c+b?时，令t?=p?/(p?-1).(i∈N,c∈N,v=1,2…6)
又，s以内有1/2的p?=28c+b?；
经计算，i＞167时，r?=t?t?…t?=1.96…
因此，集合A={x|x=a2+7,(a∈N}的参照常数为r?=1.96.
经粗略计算，r?=r?=1.36，r?=r?=0.71，r?=0.78，r?=0.52，r?=0.71，r?=1.96，r?=r??=r??=0，r??=r??=1.89，r??=1.38，r??=1.78，r??=1.04，r??=0.75.
(连续足够多个r?的均值为1)
集合B的参照常数r?的计算方法如下：
1、n为偶数时，集合B中的元素均为偶数，r?=0.
2、n为奇数时，令|4n-1|以内存在2u个正整数与|4n-1|互素，集合B的正元素中包含的与|4n-1|互素的奇素因数除以|4n-1|所得互异的余数(有且仅有u个)组成序列B={b?,b?…b?}；
当p?整除|4n-1|时，令t?=1；当p?=|4n-1|c+b?时，令t?=(p?-2)/(p?-1)；当p?不能整除|4n-1|且p?≠|4n-1|c+b?时，令t?=p?/(p?-1)；s以内有1/2的p?=|4n-1|c+b?；i足够大时，r?=2t?t?…t?=常数.(i∈N+,c∈N,v=1,2…u)
另外，如果|4m-1|=|4n-1|b2(b为正奇数)；b不存在与|4n-1|互素的奇素因数，则r?=r?；b存在与|4n-1|互素的奇素因数d?,d?…d?，当d?=|4n-1|c+b?时，令k?=(d?-1)/(d?-2)，当d?≠|4n-1|c+b?时，令k?=(d?-1)/d?，则r?=r?k?k?…k?. (i=1,2…x；c、b?同上)
经粗略计算，r?=1.56，r?=r??=r?=0，r?=1.01，r??=3.43，r??=1.61.
(连续足够多个r?的均值为1)
集合C的参照常数r?的计算方法如下：
1、n=-(b2+b)/2(b∈N)时，集合C的表达式偶数项与奇数项能够分开进行因式分解，r?=0.
2、n≠-(b2+b)/2(b∈N)时，令|8n-1|以内存在2u个正整数与|8n-1|互素，集合C的正元素中包含的与|8n-1|互素的奇素因数除以|8n-1|所得互异的余数(有且仅有u个)组成序列B={b?,b?…b?}；
当p?整除|8n-1|时，令t?=1；当p?=|8n-1|c+b?时，令t?=(p?-2)/(p?-1)；当p?不能整除|8n-1|且p?≠|8n-1|c+b?时，令t?=p?/(p?-1)；s以内有1/2的p?=|8n-1|c+b?；i足够大时，r?=t?t?…t?=常数.(i∈N+,c∈N,v=1,2…u)
另外，如果|8m-1|=|8n-1|b2(b∈N+)；b不存在与|8n-1|互素的奇素因数，则r?=r?；b存在与|8n-1|互素的奇素因数d?,d?…d?，当d?=|8n-1|c+b?时，令k?=(d?-1)/(d?-2)，当d?≠|8n-1|c+b?时，令k?=(d?-1)/d?，则r?=r?k?k?…k?. (i=1,2…x；c、b?同上)
经粗略计算，r?=1.98，r?=r??=0，r??=2.35，r?=1.24.(连续足够多个r?的均值为1)
综合而论
s以内集合X={x|x=k?a2+k?a+n,(a∈N}中素数数量分布的计算公式是q=er=r?k/㏑s.
(k?∈N+,k?∈Z,n∈Z,k表示s以内集合X中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)
集合X的参照常数r?的计算方法如下：
1、集合X的表达式能够进行因式分解或者所有元素都被某个素数整除时(例如k?、k?为奇数,n为偶数时,所有元素都被2整除)，r?=0.
2、当集合X不符合上述第1条；k?为偶数时，令A={x|x=a2+k?n-k?2/4,(a∈N)}；k?、k?、n均为奇数时，令B={x|x=a2+a+k?n-(k?2-1)/4,(a∈N)}；k?为奇数、k?为偶数时，令C={x|x=(a2+a)/2+k?n/2-(k?2-1)/8,(a∈N)}；当k?=2?(m∈N)时，令b=1；当k?存在奇素因数d?,d?…d?，d?(i=1,2…x)整除k?时，令b?=d?/(d?-1)，d?与k?互素时，令b?=(d?-1)/(d?-2)，令b=b?b?…b?；则r?等于集合X对应的集合(A,B,C三者之一)的参照常数值乘以b.
(k?,k?不变,连续足够多个r?的均值为1)
③、论m次函数中的素数分布.
且令：X={x|x=k?a?+k???a??1…+k?a+n,
(a∈N)}. (m、k?∈N+；n、k?…k???∈Z)
则有：s以内集合X中素数数量分布的计算公式是q=er=r?k/㏑s.
(k表示s以内集合X中正元素的数量,s较小时,用㏑s-1.08代替㏑s计算)
集合X的参照常数r?的计算方法如下：
1、集合X的表达式能够进行因式分解或者所有元素都被某个素数整除时，r?=0；否则，按2、3条计算，r?＞0，集合X中素数无穷多.
2、集合X中的正元素除以p?所得余数呈现周期性分布规律，周期长度为p?；每个素数都对应一个余数周期，这些周期内最多有m个0，最少则无0，平均为一个0；令p?对应的余数周期中有d?个元素与p?互素；令t?=d?/(p?-1)；i足够大时，r?=t?t?…t?=常数. (i∈N)
3、第2条是关于集合X的r?值的直接计算法，前面计算表达式为二次函数的集合X的r?值用的是间接计算法，关于计算表达式为二次以上函数的集合X的r?值的间接计算法尚待探讨.
(m,k?…k?不变,连续足够多个r?的均值为1)
另外，当集合X的表达式中某些项的系数不为整数时，如果集合X中的正元素分布符合上述第2条，则集合X的r?值计算方法同上.
㈤、论梅森素数的分布.
型如2?-1(a∈N+)的素数称为梅森素数.
且令：集合X={x|x=2?-1,(a∈N+)}
={1,3,7,15,31,63,127,255…}.
且令：集合X中的元素依次是x?，x?，x?…
则有：x???=2x?+1；x??=2??-1=(2?-1)
[2???1??+2???2??…+2?+1]. (n、m∈N+)
因此，n为合数时，x?同样为合数.
且令：集合X中的元素除以某个奇素数p所得余数依次组成序列K={k?，k?，k?…}.
则有：k?≠p-1；
2k?+1＜p时，k???=2k?+1；
2k?+1≥p时，k???=2k?+1-p.
因此，序列K中互异的元素小于p个，连续p个元素中将存在相同的元素.
且令：k?=k?. (n＜m,m-n＜p)
则有：k?=k???????. (i∈N+)
因此，序列K中的元素存在周期性分布规律；其周期长度小于p，周期内的元素互异，第一个元素是1，最后一个元素是0.
当m∈P，n∈N+时，集合X中的元素满足：当且仅当m=2时，第mn个元素能被3整除；当且仅当m=3时，第mn个元素能被7整除；当且仅当m=5时，第mn个元素能被31整除；当且仅当m=7时，第mn个元素能被127整除；当且仅当m=11时，第mn个元素能被23、89整除 …
分析整理，可按下述方法设定：
1、当集合X中被p?(p?=5,11,13,17,19…)整除的所有元素都能够被某个小于p?的素数整除时，这些素数对应y?=1.
2、当p?(p?=2,3,7,23,31…)不是第1条中括号内的素数时，且令集合X中与p?互素的元素的分布比例为y?.
则有：y?=1或者y?=(p-1)/p.
(p∈P,p<p?,所有y?≠1的值互异)
且令：z?=(p?-1)/p?；r?=(y?y?…y?)/(z?z?…z?).
则有：所有的r?＞1. (猜测i足够大时,r?→2)
经计算，s以内集合X中元素的能量和为e=㏑㏑s/㏑2；因此，s以内梅森素数的数量接近或大于㏑㏑s/㏑2；存在无穷多个梅森素数；如果猜测成立，则s(足够大)以内梅森素数的数量接近于2㏑㏑s/㏑2.
同理可证：
s以内斐波那契数列中的素数数量接近或大于1.5㏑㏑s/㏑g. [g=(1+√5)/2=1.618]
后记(厚寄)
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